Matematikseminariet: Dimensioner av polynomvektorrum

  • Datum: –16.15
  • Plats: ITC 2215
  • Föreläsare: Veronica Crispin Quinonez
  • Arrangör: Matematiska institutionen
  • Kontaktperson: Elin Persson Westin
  • Seminarium

Modulär aritmetik bekantar vi oss med redan som barn, när vi lär oss klockan (modulo 12) eller hitta veckodag för ett visst datum (modulo 7). En generalisering av den blir ett väldigt effektivt medel för att utvidga talmängder. Då är till exempel Q[x] modulo polynomet (x^2-2) ekvivalent med mängden av de rationella talen "utökad" med roten ur 2.

Nu generaliserar vi ännu mer. Låt S = C[x_1, ..., x_n] vara mängden av alla polynom i variablerna x_1, ..., x_n med koefficienter i C. Från linjär algebra har vi lärt oss att till exempel mängden av alla homogena polynom, dvs sådana där varje term har samma grad, är ett vektorrum över C. Ett klassiskt problem är att undersöka dimensionen av sådana vektorrum. Vi börjar med att hitta den för de vektorrum som bygger upp S och fortsätter sedan för vidare strukturer via modulär aritmetik.

Vi ska dock arbeta väldigt praktiskt med konkreta polynom, som ni känner igen från flervariabelanalys och är vana att arbeta med, samt bara använda räknemetoder från tidigare algebrakurser. Medan vi håller på med våra beräkningar hinner vi kanske upptäcka några mönster så att vi kan förstå Fröbergs förmodan, som formulerades 1985.